Opgave 2

A is het grote getal van 8068 cijfers dat ontstaat door 2017 maal het getal 2017 achter elkaar te zetten, dus A = 201720172017⋯

B = A² − 1


➢ Is B deelbaar door 144?

Uitwerking

Merk op dat B = A2 – 1 = (A + 1) ∙ (A – 1). En maak vervolgens de volgende redeneringen:

  • Het (lange) getal (A – 1) eindigt op 2016. Omdat zowel elke veelvoud van 1000 als het getal 16 deelbaar is door 8, geldt dat (A – 1) ook deelbaar is door 8.
  • Nu gebruiken we de regel dat een getal deelbaar is door 9 indien de som van de cijfers van dat getal deelbaar is door 9. De som van de cijfers van (A – 1) is gelijk aan 2016 ∙ (2 + 0 + 1 + 7) + (2 + 0 + 1 + 6) = 2016 ∙ 10 + 9 = 20169. Dit getal is deelbaar door 9, immers: 2 + 0 + 1 + 6 + 9 = 18 = 2 ∙ 9. Dus (A – 1) is ook deelbaar door 9.
  • Het laatste cijfer van (A + 1) is 8, een even getal. Dus (A + 1) is deelbaar door 2.
Door de bovenstaande drie redeneringen te combineren zien we dat B in elk geval deelbaar is door 8 ∙ 9 ∙ 2 = 144.